未知脉冲通过500ms的惯性滤波器后得到信号：峰值为50，幅值下降到10%的时间500ms，求原信号?

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未知脉冲通过500ms的惯性滤波器后得到信号：峰值为50，幅值下降到10%的时间500ms，求原信号?

酱油-哥

根据一阶惯性滤波器的原理，输出信号的变化满足以下方程：

$$ Y(n)=\alpha X(n)+(1-\alpha)Y(n-1) $$

其中，$\alpha$是滤波系数，$X(n)$是输入信号，$Y(n)$是输出信号。假设滤波器的初始输出为0，即$Y(0)=0$，则可以得到：

$$ Y(1)=\alpha X(1) $$

$$ Y(2)=\alpha X(2)+(1-\alpha)\alpha X(1) $$

$$ Y(3)=\alpha X(3)+(1-\alpha)\alpha X(2)+(1-\alpha)^2\alpha X(1) $$

$$ \cdots $$

$$ Y(n)=\alpha X(n)+(1-\alpha)\alpha X(n-1)+(1-\alpha)^2\alpha X(n-2)+\cdots+(1-\alpha)^{n-1}\alpha X(1) $$

由题目条件，输出信号的峰值为50，即$Y(1)=50$，则可以求出滤波系数为：

$$ \alpha=\frac{Y(1)}{X(1)}=\frac{50}{X(1)} $$

又由题目条件，输出信号的幅值下降到10%的时间为500ms，即$Y(1000)=0.1Y(1)=5$，则可以求出输入信号的第1000个值为：

$$ X(1000)=\frac{Y(1000)-(1-\alpha)Y(999)}{\alpha}=\frac{5-(1-\frac{50}{X(1)})Y(999)}{\frac{50}{X(1)}} $$

由于题目没有给出输入信号的其他值，所以无法进一步求解$X(1000)$的具体数值，只能给出上述表达式。如果输入信号是一个周期性的脉冲信号，那么可以根据周期性的特点，推断出$X(1000)$的大致范围。例如，如果输入信号的周期为100ms，那么$X(1000)$应该与$X(100)$相等，即$X(1000)=X(100)=X(1)$，则可以得到：

$$ X(1000)=X(1)=\frac{50}{\alpha}=\frac{50}{\frac{50}{X(1)}}=X(1) $$

这是一个一元一次方程，可以解出$X(1)$的值为：

$$ X(1)=\sqrt{50}\approx 7.07 $$

这样就求出了原信号的峰值。如果输入信号的周期不是100ms，那么需要根据具体的周期来推断$X(1000)$的值，然后求解方程。如果输入信号不是周期性的，那么无法求解原信号的峰值，除非给出更多的信息。

此号被封禁

根据题意，我们可以列出以下式子：

$V_0 = 50$ （原信号的峰值）

$V_{10} = V_0 \times 0.1 = 5$ （原信号幅值下降到10%时的值）

$T = 500ms$ （惯性滤波器的时间常数）

根据惯性滤波器的公式：

$V{out}(t) = V{in}(t) \times (1 - e^{-\frac{t}{T}})$

将 $t$ 替换为 $500ms$，$V{out}(t)$ 替换为 $V{10}$，$V_{in}(t)$ 替换为 $V_0$，得到：

$5 = 50 \times (1 - e^{-\frac{500ms}{T}})$

化简可得：

$e^{-\frac{500ms}{T}} = 0.9$

两边取自然对数：

$-\frac{500ms}{T} = ln(0.9)$

解出 $T$：

$T = -\frac{500ms}{ln(0.9)} \approx 1051.27ms$

最后，将 $T$ 替换回惯性滤波器公式中，求出原信号：

$V{in}(t) = V{out}(t) \div (1 - e^{-\frac{t}{T}})$

将 $t$ 替换为 $500ms$，$V_{out}(t)$ 替换为 $50$，$T$ 替换为 $1051.27ms$，得到：

$V_{in}(500ms) \approx 240.31$

因此，原信号的峰值约为 $240.31$。