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发表于 2023-9-21 17:43:48 | 查看: 88| 回复: 2 IP:中国广东省 中国电信

未知脉冲通过500ms的惯性滤波器后得到信号:峰值为50,幅值下降到10%的时间500ms,求原信号?


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发表于 2023-9-21 17:44:27 IP:中国广东省 中国电信

根据一阶惯性滤波器的原理,输出信号的变化满足以下方程:

$$ Y(n)=\alpha X(n)+(1-\alpha)Y(n-1) $$

其中,$\alpha$是滤波系数,$X(n)$是输入信号,$Y(n)$是输出信号。假设滤波器的初始输出为0,即$Y(0)=0$,则可以得到:

$$ Y(1)=\alpha X(1) $$

$$ Y(2)=\alpha X(2)+(1-\alpha)\alpha X(1) $$

$$ Y(3)=\alpha X(3)+(1-\alpha)\alpha X(2)+(1-\alpha)^2\alpha X(1) $$

$$ \cdots $$

$$ Y(n)=\alpha X(n)+(1-\alpha)\alpha X(n-1)+(1-\alpha)^2\alpha X(n-2)+\cdots+(1-\alpha)^{n-1}\alpha X(1) $$

由题目条件,输出信号的峰值为50,即$Y(1)=50$,则可以求出滤波系数为:

$$ \alpha=\frac{Y(1)}{X(1)}=\frac{50}{X(1)} $$

又由题目条件,输出信号的幅值下降到10%的时间为500ms,即$Y(1000)=0.1Y(1)=5$,则可以求出输入信号的第1000个值为:

$$ X(1000)=\frac{Y(1000)-(1-\alpha)Y(999)}{\alpha}=\frac{5-(1-\frac{50}{X(1)})Y(999)}{\frac{50}{X(1)}} $$

由于题目没有给出输入信号的其他值,所以无法进一步求解$X(1000)$的具体数值,只能给出上述表达式。如果输入信号是一个周期性的脉冲信号,那么可以根据周期性的特点,推断出$X(1000)$的大致范围。例如,如果输入信号的周期为100ms,那么$X(1000)$应该与$X(100)$相等,即$X(1000)=X(100)=X(1)$,则可以得到:

$$ X(1000)=X(1)=\frac{50}{\alpha}=\frac{50}{\frac{50}{X(1)}}=X(1) $$

这是一个一元一次方程,可以解出$X(1)$的值为:

$$ X(1)=\sqrt{50}\approx 7.07 $$

这样就求出了原信号的峰值。如果输入信号的周期不是100ms,那么需要根据具体的周期来推断$X(1000)$的值,然后求解方程。如果输入信号不是周期性的,那么无法求解原信号的峰值,除非给出更多的信息。

发表于 2023-9-21 17:48:30 IP:中国广东省 中国电信

根据题意,我们可以列出以下式子:

$V_0 = 50$ (原信号的峰值)

$V_{10} = V_0 \times 0.1 = 5$ (原信号幅值下降到10%时的值)

$T = 500ms$ (惯性滤波器的时间常数)

根据惯性滤波器的公式:

$V{out}(t) = V{in}(t) \times (1 - e^{-\frac{t}{T}})$

将 $t$ 替换为 $500ms$,$V{out}(t)$ 替换为 $V{10}$,$V_{in}(t)$ 替换为 $V_0$,得到:

$5 = 50 \times (1 - e^{-\frac{500ms}{T}})$

化简可得:

$e^{-\frac{500ms}{T}} = 0.9$

两边取自然对数:

$-\frac{500ms}{T} = ln(0.9)$

解出 $T$:

$T = -\frac{500ms}{ln(0.9)} \approx 1051.27ms$

最后,将 $T$ 替换回惯性滤波器公式中,求出原信号:

$V{in}(t) = V{out}(t) \div (1 - e^{-\frac{t}{T}})$

将 $t$ 替换为 $500ms$,$V_{out}(t)$ 替换为 $50$,$T$ 替换为 $1051.27ms$,得到:

$V_{in}(500ms) \approx 240.31$

因此,原信号的峰值约为 $240.31$。

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